【題目】四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=AD=CD,AB∥CD,∠ADC=90°.
(1)在側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)Q,使BQ∥平面PAD?證明你的結(jié)論;
(2)求證:平面PBC⊥平面PCD;
【答案】
解:(1)當(dāng)Q為側(cè)棱PC中點(diǎn)時(shí),有BQ∥平面PAD.
證明如下:如圖,取PD的中點(diǎn)E,連AE、EQ.
∵Q為PC中點(diǎn),則EQ為△PCD的中位線,
∴EQ∥CD且EQ=CD.
∵AB∥CD且AB=CD,∴EQ∥AB且EQ=AB,
∴四邊形ABQE為平行四邊形,則BQ∥AE.
∵BQ平面PAD,AE平面PAD,
∴BQ∥平面PAD.
(2)證:∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥CD.
∵AD⊥CD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.
∵AE平面PAD,∴CD⊥AE.
∵PA=AD,E為PD中點(diǎn),∴AE⊥PD.
∵CD∩PD=D,∴AE⊥平面PCD.
∵BQ∥AE,∴BQ⊥平面PCD.
∵BQ平面PBC,∴平面PBC⊥平面PCD.
【解析】(1)當(dāng)Q為側(cè)棱PC中點(diǎn)時(shí),有BQ∥平面PAD.取PD的中點(diǎn)E,連AE、EQ.只需證明平面PAD外的直線BQ平行于平面PAD內(nèi)的直線AE,即可.
(2)要證平面PBC⊥平面PCD,只需證明AE垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線CD、PD,BQ∥AE,BQ平面PBC即可;
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面平行的性質(zhì)和平面與平面垂直的判定是解答本題的根本,需要知道一條直線與一個(gè)平面平行,則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡(jiǎn)記為:線面平行則線線平行;一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足an+1=﹣an2+2an , n∈N* , 且a1=0.9,令bn=lg(1﹣an);
(1)求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{ }各項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【蘇北四市2016-2017學(xué)年度高三年級(jí)第一學(xué)期期末調(diào)研】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,且右焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)為橢圓的左頂點(diǎn),為橢圓上位于軸上方的點(diǎn),直線交軸于點(diǎn)
,過(guò)點(diǎn)作的垂線,交軸于點(diǎn).
(ⅰ)當(dāng)直線的斜率為時(shí),求的外接圓的方程;
(ⅱ)設(shè)直線交橢圓于另一點(diǎn),求的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)an= sin ,Sn=a1+a2+…+an , 在S1 , S2 , …S100中,正數(shù)的個(gè)數(shù)是( )
A.25
B.50
C.75
D.100
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某人從一魚(yú)池中捕得120條魚(yú),做了記號(hào)之后,再放回池中,經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臅r(shí)間后,再?gòu)某刂胁兜?00條魚(yú),結(jié)果發(fā)現(xiàn)有記號(hào)的魚(yú)為10條(假定魚(yú)池中不死魚(yú),也不增加),則魚(yú)池中大約有魚(yú)( 。
A.120條
B.1200條
C.130條
D.1000條
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一次模擬考試后,從高三某班隨機(jī)抽取了20位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī),其分布如下:
分組 | [90,100] | [100,110) | [110,120) | [120,130) | [130,140) | [140,150) |
頻數(shù) | 1 | 2 | 6 | 7 | 3 | 1 |
分?jǐn)?shù)在130分(包括130分)以上者為優(yōu)秀,據(jù)此估計(jì)該班的優(yōu)秀率約為( 。
A.10%
B.20%
C.30%
D.40%
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【題目】張老師給學(xué)生出了一道題,“試寫一個(gè)程序框圖,計(jì)算S=1+ + + + ”.發(fā)現(xiàn)同學(xué)們有如下幾種做法,其中有一個(gè)是錯(cuò)誤的,這個(gè)錯(cuò)誤的做法是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 點(diǎn)P(an , Sn)在函數(shù)f(x)= x2+ x上,已知b1=1,3bn﹣2bn﹣1=0(n≥2,n∈N*),
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若cn=anbn , 求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn;
(3)是否存在整數(shù)m,M,使得m<Tn<M對(duì)任意正整數(shù)n恒成立,且M﹣m=9,說(shuō)明理由.
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