Question

設(shè)a、b是互不相等的正數(shù)，則下列不等式中不恒成立的是（　　）

• A、（a+3）²＞2a²+6a+11
• B、

  a+3

  -

  a+1

  ≤

  a+2

  -

  a

• C、|a-b|+

  1

  a-b

  ≥2
• D、a²+

  1

  a2

  ≥a+

  1

  a

Answer 1

考點(diǎn)：不等關(guān)系與不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：本題要找出不等式中不恒成立的選項(xiàng)，必須證明命題的否定是真命題，得到正確選項(xiàng)．

解答： 解：（1）∵（a+3）²-（2a²+6a+11）=a²+6a+9-2a²-6a-11=-a²-2＜0，∴（a+3）²＜2a²+6a+11．
與選項(xiàng)A：（a+3）²＞2a²+6a+11 矛盾，
∴A選項(xiàng)恒不成立．
（2）∵

a+3

+

a+1

＞

a+2

+

a

，∴

1

a+3 + a+1

＜

1

a+2 + a

，
∴

a+3 - a+1

2

＜

a+2 - a

2

，
∴

a+3

-

a+1

＜

a+2

-

a

．
∴B選項(xiàng)恒成立．
（3）∵a是正數(shù)，
∴a+

1

a

≥2．
∴a2+

1

a2

-(a+

1

a

)=(a+

1

a

)2-(a+

1

a

)-2=(a+

1

a

+1)(a+

1

a

-2)≥0．
∴a2+

1

a2

≥a+

1

a

．
∴D選項(xiàng)恒成立．
（4）當(dāng)a-b＞0時(shí)，|a-b|+

1

a-b

≥2成立，
當(dāng)a-b＜0時(shí)，例如a-b=-1，|a-b|+

1

a-b

=0，|a-b|+

1

a-b

≥2不成立，
∴C選項(xiàng)不恒成立．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查的是不等關(guān)系，通過基本不等式法、作差法、特殊值法比較兩式大小，研究不等式是否恒成立，得出本題結(jié)論，本題有一定難度，屬于中檔題．