Question

6．數列{a_n}是公比大于1的等比數列，S_n是{a_n}的前n項和．若S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構成比差數列．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）求和T_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1；
（3）令b_n=log₂$\frac{16}{{a}_{n}}$，數列{b_n}的前n項和為S_n，當$\frac{{S}_{1}}{1}$+$\frac{{S}_{2}}{2}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$取得最大值時，求n的值．

Answer 1

分析 （1）設等比數列{a_n}的公比為q＞1，由S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構成比差數列．可得${a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}$=7，6a₁q=a₁+${a}_{1}{q}^{2}$+7．聯(lián)立解出即可．
（2）由（1）可得：a_na_n+1=2^2n-1．再利用等比數列的前n項和公式即可得出；
（3）由（1）可得b_n=log₂$\frac{16}{{a}_{n}}$=5-n，可得數列{b_n}的前n項和為S_n=$\frac{n（9-n）}{2}$，$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{9-n}{2}$，再利用等差數列的前n項和公式及二次函數的單調性即可得出．

解答 解：（1）設等比數列{a_n}的公比為q＞1，
∵S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構成比差數列．
∴${a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}$=7，2×3a₂=a₁+3+a₃+4，即6a₁q=a₁+${a}_{1}{q}^{2}$+7．
聯(lián)立化為2q²-5q+2=0，q＞1，解得q=2，a₁=1．
∴a_n=2^n-1．
（2）由（1）可得：a_na_n+1=2^n-1•2ⁿ=2^2n-1．
∴T_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1=2¹+2³+…+2^2n-1=$\frac{2（{4}^{n}-1）}{4-1}$=$\frac{2}{3}（{4}^{n}-1）$．
（3）由（1）可得b_n=log₂$\frac{16}{{a}_{n}}$=5-n，
∴數列{b_n}的前n項和為S_n=$\frac{n（4+5-n）}{2}$=$\frac{n（9-n）}{2}$．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{9-n}{2}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{1}$+$\frac{{S}_{2}}{2}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{n（4+\frac{9-n}{2}）}{2}$=$-\frac{1}{4}{n}^{2}$+$\frac{17}{4}n$=-$\frac{1}{4}$$（n-\frac{17}{2}）^{2}$+$\frac{289}{16}$，
當n=8或9時，$\frac{{S}_{1}}{1}$+$\frac{{S}_{2}}{2}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$取得最大值．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、二次函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．