Question

已知函數(shù)y=f（x）（x＞0）滿足：f（xy）=f（x）+f（y），當x＜1時f（x）＞0，且f（

1

2

）=1；
（1）證明：y=f（x）是（x＞0）上的減函數(shù)；
（2）解不等式f（x-3）＞f（

1

x

）-2．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明y=f（x）是（x＞0）上的減函數(shù)；
（2）根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系將不等式進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可解不等式f（x-3）＞f（

1

x

）-2．

解答： （1）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，則0＜

x1

x2

＜1，
由題意f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

•x₂）-f（x₂）=f（

x1

x2

）+f（x₂）-f（x₂）=f（

x1

x2

）＞0，
則f（x₁）＞f（x₂），
∴y=f（x）是（x＞0）上的減函數(shù)；
（2）由函數(shù)的定義域知：

x-3＞0 1 x ＞0

，解得x＞3；
又∵f（

1

2

）=1，
∴f（

1

4

）=f（

1

2

×

1

2

）=f（

1

2

）+f（

1

2

）=1+1=2，
由f（x-3）＞f（

1

x

）-2．得f（x-3）+2＞f（

1

x

），
即f（x-3）+f（

1

4

）＞f（

1

x

），
即f（

x-3

4

）＞f（

1

x

），
由（2）得

x-3

4

＜

1

x

，
解得-1＜x＜4，
綜上知3＜x＜4為所求．

點評：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．