Question

已知函數(shù)f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x，（其中a＞0），點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））從左到右依次是函數(shù)y=f（x）圖象上三點(diǎn)，且2x₂=x₁+x₃．
（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)；
（Ⅱ）求證：△ABC是鈍角三角形；
（Ⅲ）試問△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面積的最大值；若不能，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x，∴f′(x)=

aex

1+ex

-(a+1)=

-(a+1)-ex

1+ex

＜0恒成立，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．（3分）
（Ⅱ）證明：據(jù)題意A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））且x₁＜x₂＜x₃，
由（Ⅰ）知f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），x₂=

x1+x3

2

（4分）
可得A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））三點(diǎn)不共線
（反證法：否則2ex2=ex1+ex3≥2

ex1+x3

=2ex2，得x₁=x₃）
∴

BA

=(x1-x2，f(x1)-f(x2))，

BC

=(x3-x2，f(x3)-f(x2)
∴

BA

•

BC

=(x1-x2)(x3-x2)+[f(x1)-f(x2)][f(x3)-f(x2)]（6分）
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0，∴

BA

•

BC

＜0，∴∠B∈(

π

2

，π)
即△ABC是鈍角三角形（8分）
（Ⅲ）假設(shè)△ABC為等腰三角形，則只能是|

BA

|=|

BC

|
即：（x₁-x₂）²+[f（x₁）-f（x₂）]²=（x₃-x₂）²+[f（x₃）-f（x₂）]²∵x₂-x₁=x₃-x₂∴[f（x₁）-f（x₂）]²=[f（x₃）-f（x₂）]²
即2f（x₂）=f（x₁）+f（x₃）?2aln(1+ex2)-2(a+1)x2=a[ln(1+ex1)(1+ex3)-(a+1)(x1+x3)?2aln(1+ex2)-2(a+1)x2=a[ln(1+ex1)(1+ex3)-2(a+1)x2?2ln(1+ex2)=ln(1+ex1)(1+ex3)?(1+ex2)2=(1+ex1)(1+ex3)?e2x2+2ex2=ex1+x3+ex1+ex3?2ex2=ex1+ex3①（11分）
而事實(shí)上，ex1+ex3≥2

ex1+x3

=2ex2②
由于ex1＜ex3，故（2）式等號不成立．這與（1）式矛盾．
所以△ABC不可能為等腰三角形．（13分）