Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-

3

2

x²+b，（x∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=6x-8，求a的值；
（2）若a＞0，b=2，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知在x處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，建立等式關(guān)系，求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)關(guān)系式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用點(diǎn)斜式方程寫出切線方程即可．
（2）先求導(dǎo)f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1）．再對a進(jìn)行分類討論：當(dāng)

1

a

＞1，當(dāng)0＜

1

a

＜1；分別求得f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值即可．

解答：解：（1）f′（x）=3ax²-3x，f′（2）=6得a=1
由切線方程y=6x-8得f（2）=4；
又f（2）=8a-6+b=b+2，所以b=2
所以a=1，b=2
（2）f（x）=ax³-

3

2

x²+2
f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=

1

a

．
以下分兩種情況討論：
①若

1

a

＞1即0＜a＜1，當(dāng)x變化時(shí)，f’（x），f（x）的變化情況如下表：

X	（-1，0）	0	（0，1）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

f（-1）=-a-

3

2

+2，f（1）=a-

3

2

+2
所以  f（x）_min=f（-1）=

1

2

-a
②若0＜

1

a

＜1即a＜1．當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

X	（-1，0）	0	（0， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，1）
f’（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

f（-1）=

1

2

-a，f（

1

a

）=2-

1

2a 2

而f（

1

a

）-f（-1）=2-

1

2a 2

-（

1

2

-a）=

3

2

+a-

1

2a 2

＞0
所以f（x）_min=f（-1）=

1

2

-a
綜合①和②得：f（x）_min=f（-1）=

1

2

-a．

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．