Question

已知f（x）是二次函數(shù)，對(duì)任意x∈R都滿足f（x+1）-f（x）=-2x+1，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[-2，1]時(shí)，y=f（x）的圖象恒在y=-x+m的圖象上方，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=1，可得 c=1．再由f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=-2x+1，求得 a和b的值，可得f（x）的解析式．
（2）由題意-x²+2x+1≥-x+m在x∈[-2，1]上恒成立，即m≤-x²+3x+1在x∈[-2，1]上恒成立．利用單調(diào)性求得g（x）=-x²+3x+1在[-2，1]上的最小值，
即可求得m的范圍．

解答：解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），∵f（0）=1，可得 c=1．
又f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=-2x+1，∴a=-1，b=2，所以f（x）=-x²+2x+1．
（2）由題意-x²+2x+1≥-x+m在x∈[-2，1]上恒成立，即m≤-x²+3x+1在x∈[-2，1]上恒成立．
令g（x）=-x²+3x+1易知g（x）在x∈[-2，1]上為增函數(shù)，則g（x）_min=g（-2）=-9，所以m≤-9，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，-9]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．