Question

6．定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=-x²+4x．
（1）求f（x）在R上的表達(dá)式；
（2）求y=f（x）的最大值，并寫出f（x）在R上的單調(diào)區(qū)間（不必證明）．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x＜0時，則-x＞0，利用f（x）=f（-x），以及當(dāng)x≥0時，f（x）=-x²+4x，求得x＜0時函數(shù)解析式，從而得出結(jié)論．
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式求得y=f（x）的最大值，并寫出f（x）在R上的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）∵定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，
當(dāng)x≥0時，f（x）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
設(shè)x＜0時，則-x＞0，
故f（x）=f（-x）=-（-x）²+4（-x）=-x²-4x=-（x+2）²，
綜上可得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+4x，x≥0}\\{{-x}^{2}-4x，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式可得，當(dāng)x=±2時，y=f（x）取得最大值為4，
結(jié)合f（x）的圖象寫出f（x）在R上的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-2]、[0，2]；
減區(qū)間為[-2，0]、[2，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，求函數(shù)的最值以及單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題．