Question

（2011•上海模擬）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知an+1=2Sn+2(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在a_n與an+1(n∈N*)之間插入n個(gè)1，構(gòu)成如下的新數(shù)列：a₁，1，a₂，1，1，a₃，1，1，1，a₄，…，求這個(gè)數(shù)列的前2012項(xiàng)的和；
（3）在a_n與a_n+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成公差為d_n的等差數(shù)列（如：在a₁與a₂之間插入1個(gè)數(shù)構(gòu)成第一個(gè)等差數(shù)列，其公差為d₁；在a₂與a₃之間插入2個(gè)數(shù)構(gòu)成第二個(gè)等差數(shù)列，其公差為d₂，…以此類推），設(shè)第n個(gè)等差數(shù)列的和是A_n．是否存在一個(gè)關(guān)于n的多項(xiàng)式g（n），使得A_n=g（n）d_n對(duì)任意n∈N^*恒成立？若存在，求出這個(gè)多項(xiàng)式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)a_n=a₁q^n-1，由a_n+1=2S_n+2，建立方程組，求出a₁和q，能夠推導(dǎo)出a_n．
（2）利用題設(shè)條件知：到a_n為止，新的數(shù)列共有1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

項(xiàng)，令

n(n+1)

2

=2012，知：到a₆₂為止，新的數(shù)列共有1953項(xiàng)，由此能求出該數(shù)列的前2012項(xiàng)的和．
（3）依題意，d_n=

2×3n-2×3n-1

n+1

=

4×3n-1

n+1

，A_n=

(2×3n+2×3n-1)(n+2)

2

，要使A_n=g（n）d_n，則4（n+2）×3^n-1=g（n）×

4×3n-1

n+1

，由此能夠推導(dǎo)出存在g（n）=n²+3n+2滿足條件．

解答：解：（1）設(shè)a_n=a₁q^n-1，
由a_n+1=2S_n+2，知

a1q=2a1+2 a1q2=2(a1+a1q)+2

，
解得

a1=2 q=3

，
故a_n=2×3^n-1…（6分）
（2）依題意，到a_n為止，新的數(shù)列共有1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

項(xiàng)，
令

n(n+1)

2

=2012，
得n=

-1+ 1+4024×4

2

≈62.9，
即到a₆₂為止，新的數(shù)列共有1+2+3+4+…+62=

62(62+1)

2

=1953項(xiàng)，
故該數(shù)列的前2012項(xiàng)的和為：
a₁+a₂+…+a₆₂+1+2+3+…+61+（2012-1953）=

2×(1-362)

1-3

+1950=3⁶²+1949．
（3）依題意，d_n=

2×3n-2×3n-1

n+1

=

4×3n-1

n+1

，
A_n=

(2×3n+2×3n-1)(n+2)

2

=4（n+2）×3^n-1，
要使A_n=g（n）d_n，
則4（n+2）×3^n-1=g（n）×

4×3n-1

n+1

，
∴g（n）=（n+2）×（n+1）=n²+3n+2，
即存在g（n）=n²+3n+2滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：第（1）題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化；第（2）題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算和等比數(shù)列的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要注意等比數(shù)列和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的合理運(yùn)用；第（3）題考查多項(xiàng)式是否存在的探索，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．