Question

已知函數y=f（x）是R上的減函數，且函數y=f（x-1）的圖象關于點A（1，0）對稱．設動點M（x，y），若實數x，y滿足不等式 f（x²-8y+24）+f（y²-6x）≥0恒成立，則

OA

•

OM

的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，+∞）
• B、[-1，1]
• C、[2，4]
• D、[3，5]

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,函數單調性的性質

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用,平面向量及應用

分析：根據函數y=f（x-1）的圖象關于點 （1，0）對稱，可得函數f（x）是奇函數，利用函數y=f（x）是定義在R上的減函數，化簡不等式 f（x²-8y+24）+f（y²-6x）≥0，即有x²+y²-6x-8y+24≤0，即有（x-3）²+（y-4）²≤1，運用向量的數量積的坐標表示可得范圍．

解答： 解：∵函數y=f（x-1）的圖象關于點 （1，0）對稱，
∴函數y=f（x）的圖象關于點 （0，0）對稱，即函數是奇函數，
∴不等式 f（x²-8y+24）+f（y²-6x）≥0等價于不等式f（x²-8y+24）≥f（6x-y²），
∵函數y=f（x）是定義在R上的減函數，
∴x²-8y+24≤6x-y²，即為x²+y²-6x-8y+24≤0，
即有（x-3）²+（y-4）²≤1，①
則

OA

•

OM

=1•x+0•y=x，
由①可得，|x-3|≤1，解得2≤x≤4．
故選：C．

點評：本題考查函數的奇偶性，考查函數的最值，考查解不等式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．