Question

如圖，第（1）個(gè)多邊形是由正三角形“擴(kuò)展”而來，第（2）個(gè)多邊形是由正方形“擴(kuò)展”而來…如此類推．設(shè)由正n邊形“擴(kuò)展”而來的多邊形的邊數(shù)為a_n，則a₆=

 

；

1

a3

+

1

a4

+

1

a5

+…+

1

a99

=

 

．

Answer 1

分析：通過觀察前幾個(gè)圖形中新增加了邊數(shù)得，n邊形“擴(kuò)展”以后，每條邊上又新增加了n條邊，變成了n+n×n邊形了，從而求得a_n，及a₆，再利用數(shù)列中拆項(xiàng)法結(jié)合求和公式即可解決求和問題．

解答：解：根據(jù)圖形觀察發(fā)現(xiàn)：
n邊形“擴(kuò)展”以后，每條邊上又新增加了n條邊，變成了n+n×n邊形了，
即n邊形“擴(kuò)展”而來的多邊形的邊數(shù)
a_n=n+n²=n（n+1），所以a₆=6×7=42．

1

a3

+

1

a4

+

1

a5

++

1

a99

=

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

++

1

99×100

=(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)++(

1

99

-

1

100

)=

1

3

-

1

100

=

97

300

．
故答案為：42；

97

300

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了歸納推理、數(shù)列的求和、數(shù)列遞推式，以及分析問題解決的能力，屬于基礎(chǔ)題．