Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，點P在底面ABCD上的射影為A，BC=CD= AD=1，E為棱AD的中點，M為棱PA的中點．
（1）求證：BM∥平面PCD；
（2）若∠ADP=45°，求二面角A﹣PC﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：法一：取PD的中點N，連接MN，CN．

在△PAD中，N、M分別為棱PD、PA的中點∴

∵ ∴四邊形BCNM是平行四邊形∴BM∥CN

∵BM平面PCD，CN平面PCD∴BM∥平面PCD…（5分）

（法二：連接EM，BE．

在△PAD中，E、M分別為棱AD、PA的中點∴MN∥PD

∵AD∥BC，

∴四邊形BCDE是平行四邊形∴BE∥CD∵BE∩ME=E，MN∥PD，BE∥CD

∴平面BEM∥平面PCD∵BM平面BEM∴BM∥平面PCD）

（2）以A為原點，以 ， 的方向分別為x軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz…（6分）

則A（0，0，0），C（2，1，0），E（1，0，0）．

∵點P在底面ABCD上的射影為A

∴PA⊥平面ABCD

∵∠ADP=45°∴PA=AD=2

∴P（0，0，2）

∴ ， ，

設(shè)平面PAC的一個法向量 ，

則

設(shè)a=1，則

設(shè)平面PCE的一個法向量為 ，

則 ，

設(shè)x=2，則

∴cos = =

由圖知：二面角A﹣PC﹣E是銳二面角，設(shè)其平面角為θ，則

cosθ=|cos |=

【解析】（1.）法一：取PD的中點N，連接MN，CN．證明BM∥CN，然后證明BM∥平面PCD． （法二：連接EM，BE．通過證明平面BEM∥平面PCD，然后證明BM∥平面PCD）（2.）以A為原點，以 ， 的方向分別為x軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz求出相關(guān)點的坐標，求出平面PAC的一個法向量，平面PCE的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角A﹣PC﹣E的余弦函數(shù)值．
【考點精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定，需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能得出正確答案．