【題目】某汽車美容公司為吸引顧客,推出優(yōu)惠活動:對首次消費的顧客,按元/次收費, 并注冊成為會員, 對會員逐次消費給予相應優(yōu)惠,標準如下:
消費次第 | 第次 | 第次 | 第次 | 第次 | 次 |
收費比例 |
該公司從注冊的會員中, 隨機抽取了位進行統(tǒng)計, 得到統(tǒng)計數據如下:
消費次第 | 第次 | 第次 | 第次 | 第次 | 第次 |
頻數 |
假設汽車美容一次, 公司成本為元, 根據所給數據, 解答下列問題:
(1)估計該公司一位會員至少消費兩次的概率;
(2)某會員僅消費兩次, 求這兩次消費中, 公司獲得的平均利潤;
(3)以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率, 設該公司為一位會員服務的平均利潤為元, 求的分布列和數學期望.
【答案】(1);(2);(3)分布列見解析,.
【解析】試題分析:(1)直接根據古典概型概率公式求解即可;(2)先求出該會員第一次消費、第二次消費公司獲得的利潤,然后求平均值即可;(3)的所有可能取值為分別求出各隨機變量對應的概率,利用期望公式求解即可.
試題解析:(1)位會員中, 至少消費兩次的會員有人, 所以估計一位會員至少消費兩次的概率為.(2)該會員第一次消費時, 公司獲得利潤為(元), 第次消費時, 公司獲得利潤為(元), 所以, 公司這兩次服務的平均利潤為(元).
(3)由(2)知,一位會員消費次數可能為次, 次, 次, 次, 次,當會員僅消費次時, 利潤為元,當會員僅消費次時, 平均利潤為元,當會員僅消費次時, 平均利潤為元,當會員僅消費次時, 平均利潤為元,當會員僅消費次時, 平均利潤為元,故的所有可能取值為的分布列為:
數學期望為(元).
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【題目】已知定義為的函數滿足下列條件:①對任意的實數都有:
;②當時,.
(1)求;
(2)求證:在上為增函數;
(3)若,關于的不等式對任意恒成立,求實數的取值范圍.
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【題目】《算法統(tǒng)宗》是我國古代數學名著.在這部著作中,許多數學問題都是以歌訣形式呈現的,“竹筒容米”就是其中一首:家有八節(jié)竹一莖,為因盛米不均平;下頭三節(jié)三生九,上梢三節(jié)貯三升;唯有中間二節(jié)竹,要將米數次第盛;若是先生能算法,也教算得到天明!大意是:用一根8節(jié)長的竹子盛米,每節(jié)竹筒盛米的容積是不均勻的,下端3節(jié)可盛米3.9升,上端3節(jié)可盛米3升.要按依次盛米容積相差同一數量的方式盛米,中間兩節(jié)可盛米多少升?由以上條件,計算出這根八節(jié)竹筒的容積為( )
A. 升 B. 升 C. 升 D. 升
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【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,離心率為,右焦點到右頂點的距離為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)是否存在與橢圓交于兩點的直線,使得成立?若存在,求出實數的取值范圍,若不存在,請說明理由.
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【題目】設是定義在上的函數,如果存在點,對函數的圖象上任意點,關于點的對稱點也在函數的圖象上,則稱函數關于點對稱,稱為函數的一個對稱點,對于定義在上的函數,可以證明點是圖象的一個對稱點的充要條件是,.
(1)求函數圖象的一個對稱點;
(2)函數的圖象是否有對稱點?若存在則求之,否則說明理由;
(3)函數的圖象是否有對稱點?若存在則求之,否則說明理由.
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【題目】未知數的個數多余方程個數的方程(組)叫做不定方程,最早提出不定方程的是我國的《九章算術》.實際生活中有很多不定方程的例子,例如“百雞問題”:公元五世紀末,我國古代數學家張丘建在《算經》中提出了“百雞問題”:“雞母一,值錢三;雞翁一,值錢二;雞雛二,值錢一.百錢買百雞,問雞翁、母、雛各幾何?”
算法設計:
(1)設母雞、公雞、小雞數分別為、、,則應滿足如下條件:
;.
(2)先分析一下三個變量的可能值.①的最小值可能為零,若全部錢用來買母雞,最多只能買33只,
故的值為中的整數.②的最小值為零,最大值為50.③的最小值為零,最大值為100.
(3)對、、三個未知數來說,取值范圍最少.為提高程序的效率,先考慮對的值進行一一列舉.
(4)在固定一個的值的前提下,再對值進行一一列舉.
(5)對于每個,,怎樣去尋找滿足百年買百雞條件的.由于,值已設定,便可由下式得到:.
(6)這時的,,是一組可能解,它只滿足“百雞”條件,還未滿足“百錢”.是否真實解,還要看它們是否滿足,滿足即為所求解.
根據上述算法思想,畫出流程圖并用偽代碼表示.
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【題目】某公司有30名男職員和20名女職員,公司進行了一次全員參與的職業(yè)能力測試,現隨機詢問了該公司5名男職員和5名女職員在測試中的成績(滿分為30分),可知這5名男職員的測試成績分別為16,24,18,
22,20,5名女職員的測試成績分別為18,23,23,18,23,則下列說法一定正確的是( )
A. 這種抽樣方法是分層抽樣
B. 這種抽樣方法是系統(tǒng)抽樣
C. 這5名男職員的測試成績的方差大于這5名女職員的測試成績的方差
D. 該測試中公司男職員的測試成績的平均數小于女職員的測試成績的平均數
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【題目】心理學家分析發(fā)現視覺和空間能力與性別有關,某數學興趣小組為了驗證這個結論,從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(男30女20),給所有同學幾何題和代數題各一題,讓各位同學自由選擇一道題進行解答.選題情況如下表:(單位:人)
幾何題 | 代數題 | 總計 | |
男同學 | 22 | 8 | 30 |
女同學 | 8 | 12 | 20 |
總計 | 30 | 20 | 50 |
(1)能否據此判斷有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關?
(2)現從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進行全程研究,記甲、乙兩女生被抽到的人數為X,求X的分布列及數學期望E(X).
附表及公式:
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【題目】已知橢圓的離心率為,橢圓C的長軸長為4.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線與橢圓交于A,B兩點,是否存在實數k使得以線段AB 為直徑的圓恰好經過坐標原點O?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由
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