已知P:對(duì)任意數(shù)學(xué)公式恒成立; Q:函數(shù)f(x)=x3+mx2+mx+6x+1存在極大值和極小值.求使“P且?Q”為真命題的m的取值范圍.

解:“P且?Q”為真命題.則P為真命題,Q為假命題.
P:對(duì)任意恒成立.
應(yīng)有|m-5|≤3,
解得2≤m≤8.
Q:函數(shù)f(x)=x3+mx2+mx+6x+1存在極大值和極小值,
f'(x)=3x2+2mx+m+6
若存在極大值和極小值有△=4m2-12(m+6)>0.
得m>6或m<-3.
?Q為真命題,則-3≤m≤6.
則“P且?Q”為真命題的m的取值范圍是[2,6]
分析:判斷出p是真命題q為假命題,若p真,求出在a∈[1,2]上的最大值,令|m-5|小于等于最大值解不等式求出m的范圍,若q真,令f(x)的導(dǎo)函數(shù)的判別式大于0,求出m的范圍,求出q假m的范圍;求出p真q假m的范圍.
點(diǎn)評(píng):解決不等式恒成立問(wèn)題常采用的方法是分離出參數(shù),構(gòu)造新函數(shù),求函數(shù)的最值;求復(fù)合命題真假的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為構(gòu)成復(fù)合命題的簡(jiǎn)單命題的真假問(wèn)題來(lái)處理.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知P:對(duì)任意a∈[1,2],不等式|m-5|≤
a2+8
恒成立;q:方程4x2+4(m-2)x+1=0無(wú)實(shí)根,若p 或q為真,p且q假,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知P:對(duì)任意a∈[1,2],不等式|m-5|≤
a2+8
恒成立; Q:函數(shù)f(x)=x3+mx2+mx+6x+1存在極大值和極小值.求使“P且?Q”為真命題的m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知p:對(duì)任意m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥
m2+8
恒成立;q:存在x,使不等式x2+ax+2<0成立,若“p或q”為真,“p且q”為假,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年湖北省天門(mén)市部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知P:對(duì)任意恒成立; Q:函數(shù)f(x)=x3+mx2+mx+6x+1存在極大值和極小值.求使“P且¬Q”為真命題的m的取值范圍.

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