Question

12．如圖，在四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是平行四邊形，DD₁⊥平面ABCD，AB=$\sqrt{2}$AD，AD=$\sqrt{2}$A₁B₁，∠BAD=45°．
（1）證明：BD⊥AA₁；
（2）證明：AA₁∥平面BC₁D．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用余弦定理得BD²=AD²，從而利用勾股定理得AD⊥BD，進而得到BD⊥平面ADD₁A₁，由此能證明BD⊥AA₁．
（2）連結(jié)AC、A₁C₁，設(shè)AC∩BD=E，連結(jié)EC₁，由棱臺的定義結(jié)合已知條件推導(dǎo)出四邊形A₁C₁EA是平行四邊形，由此能證明AA₁∥平面BC₁D．

解答 證明：（1）∵AB=$\sqrt{2}$AD，∠BAD=45°，
在△ABD中，由余弦定理得BD²=AD²+AB²-2AD•ABcos 45°=AD²，
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD，
∵DD₁⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，
∴DD₁⊥BD，又AD∩DD₁=D，∴BD⊥平面ADD₁A₁．
又AA₁?平面ADD₁A₁，∴BD⊥AA₁．（7分）
（2）連結(jié)AC、A₁C₁，設(shè)AC∩BD=E，連結(jié)EC₁，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE=$\frac{1}{2}$AC，
由棱臺的定義及AB=$\sqrt{2}$AD=2A₁B₁知，A₁C₁∥AE，且A₁C₁=AE，
∴四邊形A₁C₁EA是平行四邊形，∴AA₁∥EC₁，
又∵EC₁?平面BC₁D，AA₁?平面BC₁D，
∴AA₁∥平面BC₁D．（14分）

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面平行的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．