Question

18．設(shè)函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^x}-（a-1）x，\;\;\;\;（x≥0）\\ a-\frac{1}{x}，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;（x＜0）\end{array}\right.$，若對任意的x∈R，f（x）＞x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-2，e）
• B． （-∞，e）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 設(shè)出g（x）=f（x）-x，g（x）＞0恒成立，討論x＜0，運用基本不等式可得g（x）的最小值，由最小值大于0，可得a的范圍；討論當(dāng)x≥0時，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，討論a的范圍，可得g（x）的單調(diào)性，進而得到最小值，由最小值大于0，可得a的范圍，最后求交集，即可得到所求a的范圍．

解答 解：設(shè)$g（x）=f（x）-x=\left\{\begin{array}{l}{e^x}-ax\;\;\;\;\;\;\;（x≥0）\\ a-\frac{1}{x}-x\;\;\;\;（x＜0）\end{array}\right.$，
依題意可知g（x）＞0恒成立，
（1）當(dāng)x＜0時，$g（x）=a+（{-\frac{1}{x}}）+（-x）≥a+2＞0$，
∴a＞-2；
（2）當(dāng)x≥0時，f′（x）=e^x-a，當(dāng)a∈（-2，1]時，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，
所以f（x）_min=f（0）=1＞0，滿足題意；
當(dāng)a＞1時，令f′（x）=0，得x=lna，
當(dāng)x∈[0，lna）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（lna，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x=lna時，f（x）取得極小值，且為最小值f（lna）=a-alna，
根據(jù)題意，a-alna＞0，所以1-lna＞0，lna＜1，a＜e，
∴a∈（1，e）．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（-2，e）．
故選：A．

點評 本題考查分段函數(shù)的運用，以及恒成立問題的解法，注意運用分類討論思想方法，考查基本不等式和導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)性和最值，考查運算能力，屬于中檔題．