已知點O是△ABC的外接圓圓心，且AB=3，AC=4．若存在非零實數(shù)x、y，使得
AO
=x
AB
+y
AC
，且x+2y=1，則cos∠BAC=
 
．
考點：平面向量的基本定理及其意義
專題：綜合題,平面向量及應(yīng)用
分析：由
AO
=x
AB
+y
AC
，且x+2y=1，可得
AO
-
AB
=y（
AC
-2
AB
），利用向量的運算法則，取AC的中點D，則
BO
=2y
BD
，再利用點O是△ABC的外心，可得BD⊥AC．即可得出．
解答： 解：如圖所示，∵
AO
=x
AB
+y
AC
，且x+2y=1，
∴
AO
-
AB
=y（
AC
-2
AB
），
∴
BO
=y（
BC
+
BA
），
取AC的中點D，則
BC
+
BA
=2
BD
，
∴
BO
=2y
BD
，
又點O是△ABC的外心，∴BD⊥AC．
在Rt△BAD中，cos∠BAC=
2
3
．
故答案為：
2
3
，
點評：本題考查了向量的運算法則、三角形的外心定理、直角三角形的邊角關(guān)系，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于實數(shù)a和b，定義運算“⊙”：a⊙b=
a，a≤b
b，a＞b
．設(shè)函數(shù)f（x）=（x2-1）⊙（x-x2），x∈R．若函數(shù)y=f（x）-c恰有兩個不同的零點，則實數(shù)c的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O為銳角△ABC的外心，AB=6，AC=10，
AO
=x
AB
+y
AC
，且2x+10y=5，則邊BC的長為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知矩陣
a2
21
-1=
-12
2b
，則a+b=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-x3+3x2+9x+a，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），對?x∈R，f′（x）-f（x）＜0，則對任意正數(shù)a有（　�。�
A、
f(a)
ea
＞f（0）
B、
f(a)
ea
＜f（0）
C、eaf（a）＞f（0）
D、eaf（a）＜f（0）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的通項公式是an=n2sin（
2n+1
2
π），則a1+a2+a3+…+a2014=（　�。�
A、
2013×2014
2
B、
2014×2015
2
C、
2013×2013
2
D、
2014×2014
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列四個函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)的是（　　）
A、y=lg|x|
B、y=x 
1
2
C、y=-2x
D、y=-
1
x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a是實數(shù)，且
a
1+i
+
1-i
2
是實數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、-1
C、1
D、2

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