Question

已知函數(shù)f（x）=

2-x x ，x≥1 2x-1，x＜1

，g（x）=x²-2x，若關(guān)于x的方程f[g（x）]=k有四個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k∈（　�。�

• A、（

  1

  2

  ，1）
• B、（

  1

  4

  ，1）
• C、（0，1）
• D、（-1，1）

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對(duì)于函數(shù)f（x）=

2-x x ，x≥1 2x-1，x＜1

，當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）單調(diào)遞減且-1＜f（x）≤1；當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）單調(diào)遞增且0＜f（x）＜1；從而討論g（x）在分段函數(shù)各段上解的個(gè)數(shù)，從而求解．

解答： 解：對(duì)于函數(shù)f（x）=

2-x x ，x≥1 2x-1，x＜1

，
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）單調(diào)遞減且-1＜f（x）≤1；
當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）單調(diào)遞增且0＜f（x）＜1；
故實(shí)數(shù)k一定在區(qū)間（0，1）之間，
若

2-g(x)

g(x)

=k；則可化為g（x）=x²-2x=

2

1+k

；
顯然有兩個(gè)不同的根，
若2^g（x）-1=k，則g（x）=x²-2x=1+log₂k；
故△=4+4+4log₂k＞0；
即k＞

1

4

；
綜上所述，實(shí)數(shù)k∈(

1

4

，1)；
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．