【題目】設Tn為數列{an}的前n項的積,即Tn=a1a2…an.
(1)若Tn=n2,求數列{an}的通項公式;
(2)若數列{an}滿足Tn=(1﹣an)(n∈N*),證明數列為等差數列,并求{an}的通項公式;
(3)數列{an}共有100項,且滿足以下條件:
①;
②(1≤k≤99,k∈N*).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)試問符合條件的數列共有多少個?為什么?
【答案】(1) (2)(3)(Ⅰ)見解析(Ⅱ)299
【解析】
(1)(1)利用作商法求an;
(2)利用等差數列的定義證明數列為等差數列,并求得{an}的通項公式;
(3)(Ⅰ)由題意聯(lián)立方程組求得T4,T5,則由a5=即得;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得Tk是方程x2﹣(k+2)x+2=0的一個實根(△>0),當數列前k(2≤k≤98)項確定后,其前k項積Tk確定,由Tk+1可得到兩個ak+1,即得符合條件的數列共有299個.
(1)當n=1時,a1=T1=1;
當n≥2時,an=,
∴
(2)當n=1時,a1=T1=(1﹣a1),所以a1=,
當n≥2時,2Tn=1﹣an=1﹣,
所以﹣=2,數列{}為等差數列
=3+2(n﹣1)=2n+1,Tn=,an=1﹣2Tn=
(3)(Ⅰ)由,;可得T4=3±,
由,;可得T5=,
所以或或或
(Ⅱ),,所以a1=1或2
Tk是方程x2﹣(k+2)x+2=0的一個實根(其中△>0),
當數列前k(2≤k≤98)項確定后,其前k項積Tk確定,由Tk+1可得到兩個ak+1
所以符合條件的數列共有299個
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【題目】中央政府為了應對因人口老齡化而造成的勞動力短缺等問題,擬定出臺“延遲退休年齡政策”.為了了解人們對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度,責成人社部進行調研.人社部從網上年齡在15~65歲的人群中隨機調查100人,調查數據的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數與年齡的統(tǒng)計結果如下:
(1)由以上統(tǒng)計數據填2×2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異;
(2)從調查的100人中年齡在15~25,25~35兩組按分層抽樣的方法抽取6人參加某項活動現從這6人中隨機抽2人,求這2人中至少1人的年齡在25~35之間的概率.
參考數據:
其中n=a+b+c+d
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【題目】已知函數.,且.
(1)求函數的單調區(qū)間;
(2)若函數與函數在公共點處有相同的切線,且在上恒成立.
(i)求和的值;(為函數的導函數)
(ii)求實數n的取值范圍.
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【題目】某大學為了解學生對學校食堂服務的滿意度,隨機調查了50名男生和50名女生,每位學生對食堂的服務給出滿意或不滿意的評價,得到如圖所示的列聯(lián)表.經計算的觀測值,則可以推斷出( )
滿意 | 不滿意 | |
男 | 30 | 20 |
女 | 40 | 10 |
0.100 | 0.050 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
A.該學校男生對食堂服務滿意的概率的估計值為
B.調研結果顯示,該學校男生比女生對食堂服務更滿意
C.有95%的把握認為男、女生對該食堂服務的評價有差異
D.有99%的把握認為男、女生對該食堂服務的評價有差異
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【題目】如圖,在三棱錐中,,,O為AC的中點.
(1)證明:平面ABC;
(2)若點M在棱BC上,且,求點C到平面POM的距離.
(3)若點M在棱BC上,且二面角為30°,求PC與平面PAM所成角的正弦值.
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【題目】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響,在若干地區(qū)各投入萬元廣告費用,并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員操作失誤,橫軸的數據丟失,但可以確定橫軸是從開始計數的. [附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.]
(1)根據頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度;
(2)試估計該公司投入萬元廣告費用之后,對應銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值);
(3)該公司按照類似的研究方法,測得另外一些數據,并整理得到下表:
廣告投入 (單位:萬元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷售收益 (單位:萬元) | 2 | 3 | 2 | 7 |
由表中的數據顯示, 與之間存在著線性相關關系,請將(2)的結果填入空白欄,并求出關于的回歸直線方程.
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