已知點(diǎn)M(－2，0)，N(2，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM|－|PN|＝2．記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W．

(1)求W的方程；

(2)若A，B是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求·的最小值．

答案：
解析：

　　解法一：(1)由|PM|－|PN|＝2知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，實(shí)半軸長(zhǎng)a＝．

　　又半焦距c＝2，故虛半軸長(zhǎng)b＝．

　　所以W的方程為＝1，x≥．

　　(2)設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)．

　　當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，x1＝x2，y1＝－y2．

　　從而·＝x1x2＋y1y2＝＝2．

　　當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m．與W的方程聯(lián)立，消去y得(1－k2)x2－2kmx－m2－2＝0．

　　故x1＋x2＝，x1x2＝，所以·＝x1x2＋y1y2

　�。絰1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)

　�。�(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2

　　＝．

　　又因?yàn)閤1x2＞0，所以k2－1＞0，從而·＞2．綜上，當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，·取得最小值2．

　　解法二：(1)同解法一．

　　(2)設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則

　　＝(xi＋yi)(xi－yi)＝2(i＝1，2)．

　　令si＝xi＋yi，ti＝xi－yi，

　　則siti＝2，且si＞0，ti＞0(i＝1，2)，所以·＝x1x2＋y1y2

　�。�(s1＋t1)(s2＋t2)＋(s1－t1)(s2－t2)

　　＝s1s2＋t1t2≥＝2，

　　當(dāng)且僅當(dāng)s1s2＝t1t2，即時(shí)“＝”成立．

　　所以·的最小值是2．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)M（-2，0），N（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足條件||PM|-|PN||=2
2
，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W．
（1）求W的方程；
（2）過(guò)N（2，0）作直線l交曲線W于A，B兩點(diǎn)，使得|AB|=2
2
，求直線l的方程．
（3）若從動(dòng)點(diǎn)P向圓C：x2+（y-4）2=1作兩條切線，切點(diǎn)為A、B，令|PC|=d，試用d來(lái)表示
PA
•
PB
，若
PA
•
PB
=
36
5
，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

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14
，求直線l1的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)M（-2，0），N（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM|-|PN|=2
2
．記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W．若A，B是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求W的方程；
（2）若AB的斜率為2，求證
OA
•
OB
為定值．
（3）求
OA
•
OB
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)M（-2，0），N（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM|-|PN|=2
2
．記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W．
（1）求W的方程；
（2）若A，B是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求
OA
•
OB
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2007•湖北模擬）已知點(diǎn)M（-2，0）、N（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM|-|PN|=2
2
，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（　　）

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