如圖，正三棱臺ABC－A1B1C1中，A1B1＝2，AB＝4．

(1)若三棱臺的高為3，A1B1＝2，AB＝4，求側(cè)棱長及側(cè)面與底面所成的角；

(2)若三棱臺的高為h，A1B1∶AB＝1∶2，過B1C1平行于相對側(cè)棱AA1的截面把這個三棱臺分成兩部分，求這兩部分的體積比．

答案：
解析：

　　解：(1)如圖，

　　設(shè)正三棱臺ABC－A1B1C1上、下底面中心分別為點O1、O，作O1E⊥B1C1，垂足為E，ED⊥BC，垂足為D，EF⊥OD于點F，C1G⊥CO于點G．

　　在Rt△CC1G中，C1G＝3，

　　CG＝CO－C1O1＝，

　　∴．

　　由作圖可知，側(cè)面與底面所成的角就是∠EDO．

　　在Rt△EDF中，EF＝3，

　　DF＝DO－EO1＝，

　　∴tan∠EDF＝．

　　∴∠EDF＝arctan．

　　(2)設(shè)截面B1C1NM∥A1A，則B1M∥A1A∥C1N，幾何體A1B1C1－AMN為三棱柱．再設(shè)三棱臺的上、下底面積分別為S1、S2．

　　∵△A1B1C1∽△ABC，且A1B1∶AB＝1∶2，

　　∴S1∶S2＝1∶4，即S2＝4S1．

　　∴V三棱臺＝．

　　V三棱柱＝S1h．

　　∴另一部分多面體的體積V＝V三棱臺－V三棱柱＝hS1．

　　∴V三棱柱∶V＝3∶4．


練習(xí)冊系列答案
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如圖所示，在正三棱臺ABC-A1B1C1中，上、下底面的邊長分別為3cm和6cm，高為
32
cm．
求：
（1）此三棱臺的體積；
（2）此三棱臺的側(cè)面積．

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如圖，正三棱臺ABC－A1B1C1中，若三棱臺的高為h，A1B1∶AB＝1∶2，過B1C1平行于相對側(cè)棱AA1的截面把這個三棱臺分成兩部分，求這兩部分的體積比．

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（理科）如圖分別是正三棱臺ABC－A1B1C1的直觀圖和正視圖，O，O1分別是上下底面的中心，E是BC中點．

（1）求正三棱臺ABC－A1B1C1的體積；

（2）求平面EA1B1與平面A1B1C1的夾角的余弦；

（3） 若P是棱A1C1上一點，求CP＋PB1的最小值．

 

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如圖，正三棱臺ABC－A1B1C1中，已知AB＝10，棱臺一個側(cè)面梯形的面積為，O1、O分別為上、下底面正三角形中心，D1D為棱臺的斜高，∠D1DA＝60°.求上底面的邊長．

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