Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）判定f（x）的奇偶性并證明；
（Ⅲ）用函數(shù)單調(diào)性定義證明：f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)成立的條件進(jìn)行求解即可．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行證明．
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．

解答 解：（Ⅰ）由1-x²≠0，得x≠±1，即f（x）的定義域{x|x≠±1}…（4分）；
（Ⅱ）f（x）為偶函數(shù)．
∵f（x）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（-x）=f（x）
∴f（x）為偶函數(shù)；…（8分）
（III）證明：f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=$\frac{2-（1-{x}^{2}）}{1-{x}^{2}}$=$\frac{2}{1-{x}^{2}}$-1，
設(shè)1＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{1-{x}_{1}^{2}}$-$\frac{2}{1-{x}_{2}^{2}}$
=2（$\frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}}{（1-{x}_{1}^{2}）（1-{x}_{2}^{2}）}$）$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）（1+{x}_{2}）}$，
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，1-x₂＜0，1-x₁＜0，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
則函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)定義域，奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，利用相應(yīng)的定義是解決本題的關(guān)鍵．