Question

（2013•河東區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=（sin2x+cos2x）²-2sin²2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函數(shù)y=g（x）的圖象是由y=f（x）的圖象向右平移

π

8

個單位長度，再向上平移1個單位長度得到的，當x∈[0，

π

4

]時，求y=g（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和差的正弦公式，化簡函數(shù)f（x）的解析式為

2

sin(4x+

π

4

)，由此求得函數(shù)f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）依題意，y=g（x）=

2

sin(4x-

π

4

)+1，根據(jù)x的范圍求得-

π

4

≤4x-

π

4

≤

3π

4

，結合圖象求出y=g（x）的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）因為f（x）=（sin2x+cos2x）²-2sin²2x=sin4x+cos4x=

2

sin(4x+

π

4

)，…（6分）
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為

π

2

．…（8分）
（Ⅱ）依題意，y=g（x）=

2

sin[4(x-

π

8

)+

π

4

]+1=

2

sin(4x-

π

4

)+1．…（10分）
因為0≤x≤

π

4

，所以-

π

4

≤4x-

π

4

≤

3π

4

．…（11分）
當4x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

16

時，g（x）取最大值

2

+1；
當4x-

π

4

=-

π

4

，即x=0時，g（x）取最小值0．…（13分）

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式，三角函數(shù)的周期性性以及求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．