Question

某校內(nèi)有一塊以O(shè)為圓心，R（R為常數(shù)，單位為米）為半徑的半圓形（如圖）荒地，該校總務(wù)處計(jì)劃對(duì)其開(kāi)發(fā)利用，其中弓形BCDB區(qū)域（陰影部分）用于種植學(xué)校觀賞植物，△OBD區(qū)域用于種植花卉出售，其余區(qū)域用于種植草皮出售．已知種植學(xué)校觀賞植物的成本是每平方米20元，種植花卉的利潤(rùn)是每平方米80元，種植草皮的利潤(rùn)是每平方米30元．
（1）設(shè)∠BOD=θ（單位：弧度），用θ表示弓形BCDB的面積S_弓=f（θ）；
（2）如果該校總務(wù)處邀請(qǐng)你規(guī)劃這塊土地，如何設(shè)計(jì)∠BOD的大小才能使總利潤(rùn)最大？并求出該最大值．
（參考公式：扇形面積公式S=

1

2

R²θ=

1

2

Rl，l表示扇形的弧長(zhǎng)）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由S_弓=S_扇-S_△，利用扇形及三角形面積公式即得；
（2）由題意列出函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性求得最大值即可．

解答： 解：（1）S_扇=

1

2

R²θ，S_△OBD=

1

2

R²sinθ，
S_弓=f（θ）=

1

2

R2(θ-sinθ)．
（2）設(shè)總利潤(rùn)為y元，種植草皮利潤(rùn)為y₁元，種植花卉利潤(rùn)為y₂，種植學(xué)校觀賞植物成本為y₃，
y₁=30（

1

2

πR²-

1

2

R²θ），y₂=

1

2

R²sinθ•80，y₃=

1

2

R²（θ-sinθ）•20，
∴y=y₁+y₂-y₃=30（

1

2

πR²-

1

2

R²θ）+

1

2

R²sinθ•80-

1

2

R²（θ-sinθ）•20
=5R²[3π-（5θ-10sinθ）]，
設(shè)g（θ）=5θ-10sinθ  θ∈（0，π）．
∴g′（θ）=5-10cosθ
∴g′（θ）＜0，cosθ＞

1

2

，g（θ）在θ∈（0，

π

3

）上為減函數(shù)；
g′（θ）＞0，cosθ＜

1

2

，g（θ）在θ∈（

π

3

，π）上為增函數(shù)；
當(dāng)θ=

π

3

時(shí)，g（θ）取到最小值，
此時(shí)總利潤(rùn)最大：y=5R²[3π-（5θ-10sinθ）]=5R²（

4π

3

+5

3

）．
答：所以當(dāng)園林公司把扇形的圓心角設(shè)計(jì)成

π

3

時(shí)，總利潤(rùn)取最大值5R²（

4π

3

+5

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問(wèn)題，屬中檔題．