【題目】對(duì)于定義域?yàn)?/span>D的函數(shù),如果存在區(qū)間,同時(shí)滿足:①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù);②當(dāng)定義域是時(shí),的值域也是,則稱是該函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”.
(1)求證:是函數(shù)的一個(gè)“優(yōu)美區(qū)間”.
(2)求證:函數(shù)不存在“優(yōu)美區(qū)間”.
(3)已知函數(shù)()有“優(yōu)美區(qū)間”,當(dāng)a變化時(shí),求出的最大值.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)
【解析】
(1)結(jié)合“優(yōu)美區(qū)間”的定義,可證明結(jié)論;
(2)若函數(shù)存在“優(yōu)美區(qū)間”,可得函數(shù)在上單調(diào)遞減,從而可得,聯(lián)立可推出矛盾,即可證明結(jié)論;
(3)函數(shù)有“優(yōu)美區(qū)間”,結(jié)合單調(diào)性可得,聯(lián)立可求得的關(guān)系,進(jìn)而可求得的最大值.
(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
又,,∴的值域?yàn)?/span>,
∴區(qū)間是的一個(gè)“優(yōu)美區(qū)間”.
(2)設(shè)是已知函數(shù)的定義域的子集.
由,可得或,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減.
若是已知函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”,則,
兩式相減得,,則,
,
則,顯然等式不成立,
∴函數(shù)不存在“優(yōu)美區(qū)間”.
(3)設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集.
由,則或,
而函數(shù)在上單調(diào)遞增.
若是已知函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”,則,
∴是方程,即的兩個(gè)同號(hào)且不等的實(shí)數(shù)根.
,∴同號(hào),只須,
解得或,
,
∴當(dāng)時(shí),取得最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),( )是偶函數(shù).
(1)求的值;
(2)設(shè)函數(shù),其中.若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是定義在上的奇函數(shù),且.
(1)求的解析式;
(2)判斷的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(3)解不等式 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在用二次法求方程3x+3x-8=0在(1,2)內(nèi)近似根的過(guò)程中,已經(jīng)得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,則方程的根落在區(qū)間( 。
A. B. C. D. 不能確定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在三棱臺(tái)中,點(diǎn)在上,且,點(diǎn)是內(nèi)(含邊界)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且有平面平面,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是( )
A. 平面B. 直線C. 線段,但只含1個(gè)端點(diǎn)D. 圓
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A.命題“若,則”的逆否命題是“若,則”
B.“”是“”的充分條件
C.命題“若,則方程有實(shí)根”的逆命題是真命題
D.命題“若,則且”的否命題是“若,則或”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x|x﹣a|+2x(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若存在實(shí)數(shù)a∈[﹣4,4]使得關(guān)于x的方程f(x)﹣tf(a)=0恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正四面體中,、、分別是、、的中點(diǎn),下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是( )
A.面B.面
C.面面D.面面
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
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