Question

5．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為DD₁，DB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）求B₁E與平面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判斷定理即可證明EF∥平面ABC₁D₁，（2）根據(jù)直線和平面所成角的定義即可求直線B₁E與平面AEC所成角的正弦值．

解答 （1）證明：如圖示：
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
連接AD₁，BD₁，BC₁，則ABC₁D₁為平行四邊形，
∵E，F(xiàn)分別為DD₁、DB的中點(diǎn)，
∴EF∥BD₁，
∵BD₁?平面ABC₁D₁，EF?平面ABC₁D₁，
∴EF∥平面ABC₁D₁．
（2）解：由題意得：AE=EC，且F是中點(diǎn)，
∴EF⊥AC，∴∠B₁EF是直線B₁E與平面AEC所成角，
∵B₁E=$\sqrt{{{{D}_{1}B}_{1}}^{2}{{+D}_{1}E}^{2}}$=3，B₁F=$\sqrt{{FB}^{2}{+{BB}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
EF=$\sqrt{{DE}^{2}{+DF}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴${{EB}_{1}}^{2}$=EF²+${{FB}_{1}}^{2}$，
∴sin∠B₁EF=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間直線和平面平行的判斷以及直線和平面所成角的求解，要求熟練掌握相應(yīng)的判斷定理．