Question

15．已知橢圓E：$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}$=1（a＞b＞0），離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且過點A（-1，0）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程．
（Ⅱ）若橢圓E的任意兩條互相垂直的切線相交于點P，證明：點P在一個定圓上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$且b=1，則a=$\sqrt{2}$，c=1；
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），分兩類討論：①當直線l的斜率存在且非零時，得出$x_0^2+y_0^2=3$；②當直線l的斜率不存在或斜率等于零時，P$（±1，±\sqrt{2}）$也符合上述關系．

解答 解析：（Ⅰ）由已知$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且橢圓的焦點在y軸上，
所以，b=1，則，a=$\sqrt{2}$，c=1，
所以橢圓E的方程為：${x^2}+\frac{y^2}{2}=1$；
（Ⅱ）設兩切線的交點P（x₀，y₀），過交點P的直線l與橢圓${x^2}+\frac{y^2}{2}=1$相切，
①當直線l的斜率存在且非零時，x₀≠±1．
設其斜率為k，則直線l：y=k（x-x₀）+y₀，聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-{x}_{0}）+{y}_{0}}\\{x^2+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}\right.$，
消y得：$（2+{k^2}）{x^2}+2k（{y_0}-k{x_0}）x+{（{y_0}-k{x_0}）^2}-2=0$，
因為直線l與橢圓相切，△=0，
即$△={[2k（{y_0}-k{x_0}）]^2}-4（2+{k^2}）[{（k{x_0}-{y_0}）^2}-2=0$，
化簡得，$（1-x_0^2）{k^2}+2{x_0}{y_0}k+2-y_0^2=0$------（*）
因橢圓外一點所引的兩條切線互相垂直，則k₁k₂=-1，
而k₁，k₂為方程（*）的兩根，故$\frac{2-y_0^2}{1-x_0^2}=-1$，整理得：$x_0^2+y_0^2=3$；
②當直線l的斜率不存在或斜率等于零時，易求得P點的坐標為$（±1，±\sqrt{2}）$，
顯然，點P$（±1，±\sqrt{2}）$也滿足方程：$x_0^2+y_0^2=3$，
綜合以上討論得，對任意的兩條相互垂直的切線，點P的坐標均滿足方程x²+y²=3，
故點P在定圓x²+y²=3上．

點評 本題主要考查了橢圓標準方程的求法，直線與圓錐曲線的位置關系的判斷，以及分類討論的解題思想，屬于中檔題．