Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為A₁B₁、A₁D₁的中點，G、H分別為BC、B₁D₁的中點．
（1）指出直線GH與平面EFDB的位置關(guān)系，并加以證明；
（2）求異面直線GH與DF所成角的大�。�

Answer 1

解：（1）連接EH，易知EH=A₁D₁=BC=BG且EH∥A₁D₁∥AD∥BG，
所以四邊形EHGB為平行四邊形，所以GH∥BE，BE?平面EFDB
所以GH∥平面EFDB．
（2）取BD中點M，連接MF，易知FH=A₁B₁=CD=MG且FH∥A₁B₁∥CD∥MG，
所以四邊形FHGM為平行四邊形，所以GH∥FM
所以∠DFM為異面直線GH與DF所成的角，
設(shè)正方體棱長為2，
可得，MF=，DF=，MD=，
在三角形MDF中，由余弦定理可得cos∠MFD=，
∴異面直線GH與DF所成的角的大小為arccos．
分析：（1）連接EH，易知EH=BG且EH∥BG，從而得到四邊形EHGB為平行四邊形，根據(jù)線面平行的判定定理得到GH∥平面EFDB．
（2）先取BD中點M，連接MF，可得∠DFM為異面直線GH與DF所成的角，設(shè)正方體棱長為2，在三角形MDF中，由余弦定理可得cos∠MFD，從而求出所求．
點評：本題主要考查了線面平行的判定定理，以及異面直線所成角，同時考查了空間想象能力，推理論證的能力，屬于中檔題．