Question

對(duì)于曲線x²-xy+y²=1有以下判斷，其中正確的有

 

（填上相應(yīng)的序號(hào)即可）．
（1）它表示圓；
（2）它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
（3）它關(guān)于直線y=x對(duì)稱；
（4）|x|≤1，|y|≤1．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）曲線x²-xy+y²=1中含有xy項(xiàng)，方程不表示圓；（2）將x換成-x，且將y換成-y，方程不變；（3）將x，y互換，方程不變；（4）取x=

1

2

時(shí)，求出y=

1± 13

4

，不滿足|y|≤1．

解答： 解：（1）曲線x²-xy+y²=1中含有xy項(xiàng)，方程不表示圓；
（2）在原方程中，同時(shí)將x換成-x，且將y換成-y，方程不變，就說(shuō)明曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
（3）在原方程中，將x，y互換，方程不變，因此曲線關(guān)于直線y=x對(duì)稱；
（4）x=

1

2

時(shí)，y²-

y

2

-

3

4

=0，所以y=

1± 13

4

，不滿足|y|≤1，即（4）不正確．
故答案為：（2）（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查關(guān)于軸對(duì)稱、原點(diǎn)對(duì)稱的曲線上的點(diǎn)的特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．