Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，判斷并證明函數(shù)在上單調(diào)性。

（2）當(dāng)時，若關(guān)于的方程在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增（2）

【解析】試題分析：（1）設(shè)，比較和0的大小，從而得在上的單調(diào)性

（2）首先時可證明函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，從而轉(zhuǎn)化為在上有解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)有交點(diǎn)，所以，即

試題解析：（1）當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：

設(shè)，則

因?yàn)?/span>，所以， ，又

所以即

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增

（2）當(dāng)時， ，定義域?yàn)?/span>

所以，函數(shù)為奇函數(shù)

因?yàn)?/span>

所以

由（1）知， 時，函數(shù)在上單調(diào)遞增

所以在上有解，

所以函數(shù)與函數(shù)有交點(diǎn)

所以，即

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為

點(diǎn)晴：證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）取值：在定義域上任取，并且（或）；（2）作差： ，并將此式變形（要注意變形到能判斷整個式子符號為止）；（3）定號：判斷的正負(fù)（要注意說理的充分性），必要時要討論；（4）下結(jié)論：根據(jù)定義得出其單調(diào)性.