Question

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設P（4，0），A，B是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩個不同的點，連接PB交橢圓C于另一點E，證明直線AE與x軸相交于點Q（1，0）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據橢圓的離心率為，可得，利用橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，可得b=，從而可求橢圓的方程；
（Ⅱ）由題意知直線PB的斜率存在，設方程為y=k（x-4）代入橢圓方程，利用韋達定理，表示出直線AE的方程，令y=0，化簡即可得到結論．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓的離心率為，∴
∴
∵橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切．
∴b=
∴a²=4，b²=3
∴橢圓的方程為；
（Ⅱ）由題意知直線PB的斜率存在，設方程為y=k（x-4）代入橢圓方程可得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0
設B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則A（x₁，-y₁），
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
又直線AE的方程為y-y₂=
令y=0，則x=x₂-===1
∴直線AE過x軸上一定點Q（1，0）．
點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查橢圓的標準方程，解題的關鍵是確定幾何量之間的關系，利用直線與橢圓聯(lián)立，結合韋達定理求解