Question

已知三條直線l₁：2x-y+a=0，l₂：4x-2y-1=0，l₃：x+y-1=0，而且l₁與l₂之間的距離是

7 5

10

．
（1）求a的值；
（2）能否在第一象限找到一點(diǎn)P，使得P同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①P點(diǎn)到l₁的距離與P點(diǎn)到l₂的距離之比是1：2；②P點(diǎn)到l₁的距離與P點(diǎn)到l₃的距離之比是

2

：

5

；．若能，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式

專題：直線與圓

分析：（1）在l₂上取點(diǎn)M(

1

4

，0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出；
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答： 解：（1）在l₂上取點(diǎn)M(

1

4

，0)，
∵l₁與l₂之間的距離是

7 5

10

，
∴

|2× 1 4 -0+a|

22+(-1)2

=

7 5

10

，解得a=-4或3．
∴a=-4或3．
（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P（m，n）．
①當(dāng)a=-4時(shí)，則

2× |2m-n-4| 5 = |4m-2n-1| 20 5 × |2m-n-4| 5 = 2 × |m+n-1| 2

，解得

m=4 n= 1 2

，

m= 5 3 n=- 25 6

，

m= 8 9 n=- 19 18

，

m= 5 3 n= 1 2

，
得到滿足條件的四個(gè)點(diǎn)P(4，

1

2

)，(

5

3

，-

25

6

)，(

8

9

，-

19

18

)，(

5

3

，

1

2

)．
②當(dāng)a=3時(shí)，則

2× |2m-n+3| 5 = |4m-2n-1| 20 5 × |2m-n+3| 5 = 2 × |m+n-1| 2

解得

m=-3 n= 1 2

，

m=- 2 3 n= 31 6

，

m= 1 9 n= 37 18

，

m=- 2 3 n= 1 2

．
得到滿足條件的四個(gè)點(diǎn)P(-3，

1

2

)，(-

2

3

，

31

6

)，(

1

9

，

37

18

)，(-

2

3

，

1

2

)．
綜上可知滿足條件的點(diǎn)P共有8個(gè)：(4，

1

2

)，(

5

3

，-

25

6

)，(

8

9

，-

19

18

)，(

5

3

，

1

2

)，(-3，

1

2

)，(-

2

3

，

31

6

)，(

1

9

，

37

18

)，(-

2

3

，

1

2

)．

點(diǎn)評：本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式、平行線之間的距離，屬于基礎(chǔ)題．