Question

4．已知函數f（x）=sinx+x，則使不等式f（sinθ）+f（cosθ）≥0成立的θ的取值范圍是[2kπ-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$+2kπ]，k∈Z．

Answer 1

分析 通過求導數便可判斷f（x）在R上單調遞增，并且容易判斷為奇函數，從而可以由f（sinθ）+f（cosθ）≥0便可得到sinθ≥-cosθ，進一步便可得到$sin（θ+\frac{π}{4}）≥0$，這樣根據正弦函數的圖象及周期性便可得到θ的取值范圍．

解答 解：f′（x）=1+cosx≥0；
∴f（x）在R上為增函數；
又f（-x）=sin（-x）-x=-（sinx+x）=-f（x）；
∴f（x）為奇函數；
∴由f（sinθ）+f（cosθ）≥0得，f（sinθ）≥f（-cosθ）；
∵f（x）在R上為增函數；
∴sinθ≥-cosθ；
∴sinθ+cosθ≥0；
∴$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）≥0$，$sin（θ+\frac{π}{4}）≥0$；
∴$2kπ≤θ+\frac{π}{4}≤π+2kπ，k∈Z$；
∴$2kπ-\frac{π}{4}≤θ≤\frac{3π}{4}+2kπ，k∈Z$；
∴θ的取值范圍為$[2kπ-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}+2kπ]$，k∈Z．
故答案為：[2kπ-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}+2kπ$]，k∈Z．

點評 考查根據導數符號判斷函數單調性的方法，余弦函數的值域，奇函數的定義，及對奇函數定義的運用，以及增函數的定義，兩角和的正弦公式，熟悉正弦函數的圖象及周期性．