Question

已知數(shù)列{a_n+1}滿(mǎn)足a_n+1=2a_n-1且n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n； （2）求S_n；
（3）設(shè)f（x）=（x-2ⁿ+1）ln（x-2ⁿ+1）-x（n∈N^*），求證：f（x）≥．

Answer 1

解：（1）由a_n+1=2a_n-1得a_n+1-1=2（a_n-1），且a₁-1=2，∴數(shù)列{a_n-1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，a_n-1=2•2^n-1，∴a_n=2ⁿ+1．
（2）由（1）知a_n=2ⁿ+1，∴，．
（3）證明：，
當(dāng)x=2ⁿ時(shí)，f'（x）=0；x＞2ⁿ時(shí)f'（x）＞0，f（x）在（2ⁿ，+∞）上遞增；2ⁿ-1＜x＜2ⁿ時(shí)，∴f（x）≥成立．
分析：（1）由a_n+1=2a_n-1得a_n+1-1=2（a_n-1），且a₁-1=2由此能求出a_n．
（2）由a_n=2ⁿ+1，知，由此能夠求出S_n．
（3）由，知當(dāng)x=2ⁿ時(shí)，f'（x）=0；x＞2ⁿ時(shí)，f'（x）＞0，由此能夠證明f（x）≥成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法、數(shù)列前n項(xiàng)和的解法和數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要注意迭代法、錯(cuò)位相減法和導(dǎo)數(shù)的合理運(yùn)用．