Question

已知x=4是函數(shù)f（x）=alnx+x²-12x+11的一個極值點．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個交點，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用x=4是函數(shù)f（x）=alnx+x²-12x+11的一個極值點，可得f′（4）=0，從而可求a的值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的正負，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）確定函數(shù)的極值，從而可得不等式，即可求b的取值范圍．
解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=+2x-12，
∵x=4是函數(shù)f（x）=alnx+x²-12x+11的一個極值點
∴f′（4）=+8-12=0，∴a=16 …3分
（2）由（1）知，f（x）=16lnx+x²-12x+11，x∈（0，+∞）
f′（x）=…5分
當(dāng)x∈（0，2）∪（4，+∞）時，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（2，4）時，f′（x）＜0…7分
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，2），（4，+∞），f（x）的單凋減區(qū)間是（2，4）…8分
（3）由（2）知，f（x）的極大值為f（2）=16ln2-9，極小值為f（4）=32ln2-21
因此f（16）=16ln16+16²-12×16+11＞16ln2-9=f（2），f（e^-2）＜-32+11=-21＜f（4）
所以在f（x）的三個單調(diào)區(qū)間（0，2），（2，4），（4，+∞）內(nèi)，直線y=b與y=f（x）的圖象各有一個交點，
當(dāng)且僅當(dāng)f（4）＜b＜f（2）成立…13分
因此，b的取值范圍為（32ln2-21，16ln2-9）． …14分．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的計算能力，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．