已知x=4是函數(shù)f(x)=alnx+x2-12x+11的一個(gè)極值點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若直線y=b與函數(shù)y=f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn),求b的取值范圍.
分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),利用x=4是函數(shù)f(x)=alnx+x2-12x+11的一個(gè)極值點(diǎn),可得f′(4)=0,從而可求a的值;
(2)利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),可得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)確定函數(shù)的極值,從而可得不等式,即可求b的取值范圍.
解答:解:(1)求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=
a
x
+2x-12,
∵x=4是函數(shù)f(x)=alnx+x2-12x+11的一個(gè)極值點(diǎn)
∴f′(4)=
a
4
+8-12=0,∴a=16 …3分
(2)由(1)知,f(x)=16lnx+x2-12x+11,x∈(0,+∞)
f′(x)=
2(x-2)(x-4)
x
…5分
當(dāng)x∈(0,2)∪(4,+∞)時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x∈(2,4)時(shí),f′(x)<0…7分
所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,2),(4,+∞),f(x)的單凋減區(qū)間是(2,4)…8分
(3)由(2)知,f(x)的極大值為f(2)=16ln2-9,極小值為f(4)=32ln2-21
因此f(16)=16ln16+162-12×16+11>16ln2-9=f(2),f(e-2)<-32+11=-21<f(4)
所以在f(x)的三個(gè)單調(diào)區(qū)間(0,2),(2,4),(4,+∞)內(nèi),直線y=b與y=f(x)的圖象各有一個(gè)交點(diǎn),
當(dāng)且僅當(dāng)f(4)<b<f(2)成立…13分
因此,b的取值范圍為(32ln2-21,16ln2-9). …14分.
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的極值,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查學(xué)生的計(jì)算能力,正確求導(dǎo)是關(guān)鍵.
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已知x=4是函數(shù)f(x)=alnx+x2-12x+b的一個(gè)極值點(diǎn),(a,b∈R).
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若函數(shù)y=f(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn),求b的取值范圍.

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