Question

如圖所示，在直三棱柱ABO-A₁B₁O₁中，OO₁=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是線段A₁B₁的中點，P是側(cè)棱BB₁上的一點．若OP⊥BD，求三棱錐D-OPB的體積．

Answer 1

分析：以O(shè)B所在的直線為x軸，以O(shè)A所在的直線為y軸，以O(shè)O₁所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)OP⊥BD，可求出點P的坐標(biāo)，從而求出底面積S_△OPB的面積，根據(jù)錐體的體積公式求解即可求出所求．

解答：解：以O(shè)B所在的直線為x軸，以O(shè)A所在的直線為y軸，以O(shè)O₁所在的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（3，0，0）、A（0，4，0）、A₁（0，4，4），
設(shè)P（3，0，m）∵

OP

⊥

BD

∴

OP

•

BD

=-

9

2

+4m=0∴m=

9

8

------------------------（6分）
即BP=

9

8

-----------------------（8分）
VD-OPB=

1

3

S△OPB•2=

2

3

•

1

2

×3×

9

8

=

9

8

-------------------------（12分）

點評：本題主要考查了利用空間向量的方法求解立體幾何問題，同時考查了錐體的體積的計算，屬于中檔題．