已知0<a<1,函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=2loga(2x+t)(t∈R).
(1)若1是關(guān)于x的方程f(x)-g(x)=0的一個解,求t的值;
(2)當t=-1時,解不等式f(x)≤g(x);
(3)若函數(shù)F(x)=af(x)+tx2+2t+1在區(qū)間(-1,2]上有零點,求t的取值范圍.
分析:(1)由f(1)-g(1)=0,即可求得t的值;
(2)當t=-1時,f(x)≤g(x)即loga(x+1)≤2loga(2x-1),利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得真數(shù)間的大小關(guān)系,注意對數(shù)函數(shù)的定義域;
(3)分情況討論:當F(x)的零點為2時,可得F(2)=0求得t值;當F(x)在(-1,2)內(nèi)有零點時,根據(jù)函數(shù)零點判定定理可得不等式,解出即可;
解答:解:(1)f(x)-g(x)=0,即loga(x+1)-2loga(2x+t)=0,
∵1是關(guān)于x的方程f(x)-g(x)=0的一個解,
∴l(xiāng)oga(1+1)-2loga(2×1+t)=0,即loga
2
(2+t)2
=0,
2
(2+t)2
=1,解得t=-2±
2
;
(2)當t=-1時,f(x)≤g(x)即loga(x+1)≤2loga(2x-1),
也即loga(x+1)≤loga(2x-1)2,
又0<a<1,則x+1≥(2x-1)2①,且x+1>0②,2x-1>0③,
聯(lián)立①②③,解得
1
2
<x<≤
5
4

∴不等式f(x)≤g(x)的解集為:(
1
2
,
5
4
];
(3)F(x)=af(x)+tx2+2t+1=aloga(x+1)+tx2+2t+1=x+1+tx2+2t+1=tx2+x+2t+2,
若x=2是F(x)的零點,則有F(2)=0,即4t+2+2t+2=0,6t+4=0,解得t=-
2
3

若F(x)在(-1,2)內(nèi)有零點,則有F(-1)F(2)<0,即(t-1+2t+2)(4t+2+2t+2)<0,
整理得(3t+1)(6t+4)<0,解得-
2
3
<t<-
1
3
;
綜上所述,-
2
3
≤t<-
1
3
,
故要使函數(shù)F(x)=af(x)+tx2+2t+1在區(qū)間(-1,2]上有零點,t的取值范圍為:-
2
3
≤t<-
1
3
點評:本題考查函數(shù)零點判定定理、對數(shù)不等式的解法,屬中檔題,解對數(shù)不等式要注意考慮對數(shù)函數(shù)定義域.
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