Question

16．正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足：a_n²+（1-n）a_n-n=0，若b_n=$\frac{1}{（n+1）{a}_{n}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，則T₂₀₁₆=$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 通過分解因式，利用正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，直接求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；利用數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡b_n，利用裂項(xiàng)法直接求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，即可得出結(jié)論．

解答 解：由正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a_n²+（1-n）a_n-n=0，
可得（a_n-n）（a_n+1）=0，
所以a_n=n．
所以b_n=$\frac{1}{（n+1）{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
T_n=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$，
所以T₂₀₁₆=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$，
故答案為：$\frac{2016}{2017}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，裂項(xiàng)法求解數(shù)列的和的基本方法，考查計(jì)算能力．