Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|，M為不等式f（x）≤4的解集．
（1）求集合M．
（2）當(dāng)a，b∈M時，求證$2|{a-b}|≤\sqrt{16-7{a^2}{b^2}}$．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可；
（2）兩邊平方，問題轉(zhuǎn)化為證明4a²+4b²-a²b²-16≤0即可，根據(jù)a，b的范圍證出即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-2x，x≤-1\\ 2，-1＜x＜1\\ 2x，x≥1\end{array}\right.$，
∵f（x）≤4，
∴x∈（-1，1）恒成立，
當(dāng)x≤-1時，-2x≤4得x≥-2，
∴-2≤x≤-1，
當(dāng)x≥1時，2x≤4，得x≤2，
∴1≤x≤2，
綜上所述M={x|-2≤x≤2}；
（2）證明：由（1）知：
-2≤a≤2，-2≤b≤2，
要證$2|{a-b}|≤\sqrt{16-7{a^2}{b^2}}$，
只需4（a²-2ab+b²）≤16-7a²b²，
只需4a²+4b²-a²b²-16≤0，
只需（a²-4）（4-b²）≤0（*），
∵0≤a²≤4，0≤b²≤4，
∴（*）恒成立，
則原不等式得證．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．