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已知函數，（＞0，，以點為切點作函數圖象的切線，記函數圖象與三條直線所圍成的區(qū)域面積為．

（1）求；

（2）求證：＜；

（3）設為數列的前項和，求證：＜．來

 

【答案】

（1）；（2）詳見試題分析；（3）詳見試題分析．

【解析】

試題分析：（1）先對求導，根據切點坐標及導數的幾何意義，求出切線的斜率，寫出切線的方程，最后利用定積分計算圖象與三條直線所圍成的區(qū)域面積，可求得數列的通項公式；（2）構造函數（≥0），求導可得，從而函數（≥0）單調遞減，故，從而證得當＞0時，＜成立，故＜，∴=＜；（3）由（2）：＜，由放縮法得＜，再結合裂項相消法即可證明來＜．

試題解析：（1）易知，切點為，則方程為

即，∴=

（2）構造函數（≥0），則，即函數，（≥0）單調遞減，而，∴，等號在時取得，∴當＞0時，＜成立，∴知＜，∴=＜．

（3）＜＜，∴當時，=＜；當時，＜＜．

方法二：

（1）（2）同方法一；

（3）由（2）知＜，

（），

，又，，∴綜上所述：對一切，都有＜．

考點：1．導數的幾何意義；2．定積分的計算；3．利用導數證明不等式；4．利用放縮法和裂項相消法證明不等式．

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

函數y=f（x）的圖象與直線x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數f（x）在[a，b]上的面積，已知函數y=sinnx在[0，
π
n
]上的面積為
2
n
（n∈N+），則函數y=sin3x在[0，
2π
3
]上的面積為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數，f(x)=
0(x＞0)
-π(x=0)
x
2
3
+1(x＜0)
，則復合函數f{f[f（-1）]}=（　�。�
A、x2+1
B、π2+1
C、-π
D、0

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=2cosx（0≤x≤2π）的圖象和直線y=2圍成一個封閉的平面圖形，則其面積為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）的圖象與直線x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數f（x）在[a，b]上的面積．已知函數y=sinnx在[0，
π
n
]上的面積為
2
n
(n∈N*)，則函數y=cos3x在[0，
5π
6
]上的面積為
5
3
5
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

函數y=f（x）的圖象與直線x=a，y=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數f（x）在[a，b]上的面積，已知函數y=sinnx在[0，
π
n
]上的面積為
2
n
，則（1）函數y=sin3x在[0，
2π
3
]上的面積為
4
3
4
3
，（2）函數y=sin（3x-π）在[
π
3
，
4π
3
]上的面積為
π+
2
3
π+
2
3
．

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