Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若BC⊥AC，∠A=

π

3

，AC=4，AA₁=4，M為AA₁的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BM中點(diǎn)，Q在線段CA₁上，且A₁Q=3QC．則異面直線PQ與AC所成角的正弦值

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專(zhuān)題：空間角

分析：以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線PQ與AC所成角的正弦值．

解答： 解：以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸，CC₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則由題意得A（0，4，0），C（0，0，0），
B（4

3

，0，0），M（0，4，2），A₁（0，4，4），
P（2

3

，2，1），

CQ

=

1

4

CA1

=

1

4

（0，4，4）=（0，1，1），
∴Q（0，1，1），

AC

=（0，-4，0），

PQ

=（-2

3

，-1，0），
設(shè)異面直線PQ與AC所成角為θ，
cosθ=|cos＜

AC

，

PQ

＞|=|

4

4 13

|=

13

13

，
∴sinθ=

1- 1 13

=

2 39

13

．
故答案為：

2 39

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線PQ與AC所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．