Question

如圖，在四棱錐中，，，，平面底面，.和分別是和的中點(diǎn)，求證：

（Ⅰ）底面；

（Ⅱ）平面；

（Ⅲ）平面平面.

 

Answer 1

【答案】

把平面與平面垂直轉(zhuǎn)化為直線和平面垂直是常見的轉(zhuǎn)化.要證直線和平面垂直，依據(jù)相關(guān)判定定理轉(zhuǎn)化為證明直線和直線垂直.要證直線和平面平行，可以利用直線和平面平行的判定定理完成。證明平面與平面垂直，需要在一個(gè)平面內(nèi)找到一條和另一個(gè)平面垂直的直線，依據(jù)平面與平面垂直的判定定理。

【解析】（Ⅰ）因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081412274979056190/SYS201308141228511772810280_DA.files/image001.png">底面，且垂直于這兩個(gè)平面的交線，

所以底面.

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081412274979056190/SYS201308141228511772810280_DA.files/image006.png">，，是的中點(diǎn)，

所以，且.

所以為平行四邊形.

所以，.

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081412274979056190/SYS201308141228511772810280_DA.files/image014.png">平面，平面，

所以平面.

（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081412274979056190/SYS201308141228511772810280_DA.files/image018.png">，并且為平行四邊形，

所以,.

由（Ⅰ）知底面，

所以，

所以平面.

所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081412274979056190/SYS201308141228511772810280_DA.files/image008.png">和分別是和的中點(diǎn)，

所以.

所以.

所以平面.

所以平面平面.

【考點(diǎn)定位】本題考查了直線和平面平行、垂直的判定定理，平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查推理論證能力.