【題目】已知橢圓E: + =1(a>b>0)經(jīng)過點(﹣1, ),其離心率e=
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)動直線l:y=kx+m與橢圓C相切,切點為T,且l與直線x=﹣4相交于點S.
試問:在x軸上是否存在一定點,使得以ST為直徑的圓恒過該定點?若存在,求出該點的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】解:(Ⅰ)由點(1, )在橢圓上得,代入橢圓方程: ,①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
橢圓的離心率e= = ,則a=2c,a2=4c2 , b2=3c2 , ②
②代入①解得c2=1,a2=4,b2=3,
故橢圓C的標準方程為 ;
(Ⅱ)由 ,消去y,整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0;
因為動直線l與橢圓C相切,即它們有且只有一個公共點T,可設(shè)T(x0 , y0),
m≠0,△=0,∴(8km)2﹣4×(4k2+3)×(4m2﹣12)=0,
∴4k2﹣m2+3=0,③﹣﹣﹣﹣
此時,x0= =﹣ =﹣ ,y0=kx0+m= ,則T(﹣ , ).由 ,得S(4,4k+m).假設(shè)平面內(nèi)存在定點滿足條件,不妨設(shè)為點A.
由圖形對稱性知,點A必在x軸上.設(shè)A(x1 , 0),則由已知條件知AS⊥AT,
=0對滿足③式的m,k恒成立.由 =(4﹣x1 , 4k+m), =(﹣ ﹣x1 , ),由 =0得:﹣ + ﹣4x1+x12+ +3=0,
整理得(4x1﹣4) +x12﹣4x1+3=0,④由②式對滿足①式的m,k恒成立,則 ,解得x1=1.
故平面內(nèi)存在定點(1,0),使得以ST為直徑的圓恒過該定點.
【解析】(Ⅰ)由題意可知:將點代入橢圓方程,利用橢圓的離心率公式即可求得a和b的值,即可求得橢圓方程;(Ⅱ)將直線方程代入橢圓方程,由△=0,求得4k2﹣m2+3=0,利用韋達定理及中點坐標公式,求得T點坐標,聯(lián)立即可求得S點坐標,由 =0,根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算,可得 ,即可求得A點坐標,即可求得以ST為直徑的圓恒過該定點(1,0).

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