Question

如圖，已知ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1，PA⊥平面BCME．
（1）若E是PA的中點，證明：BE∥平面PCD；
（2）若PA=3，求三棱錐B-PCD的體積；
（3）證明：PC⊥CD．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間向量及應(yīng)用

分析：（1）（方法一）取AD的中點為F，連結(jié)BF，EF．利用中位線性質(zhì)，確定平行線，再運(yùn)用線面平行的判斷定定理即可證明．
（方法二）：取PD的中點為M，連結(jié)EM，CM．利用中位線，得出平行線，判斷出；四邊形BCME是平行四邊形，即可證明．
（2）所抓化為VB-PCD=VP-BCD=

1

3

×PA×S△BCD=

1

3

×3×

1

2

=

1

2

．
（3）PA⊥CD．PA∩AC=A，CD⊥平面PAC，得出CD⊥平面PAC，得證CD⊥PC．

解答： 證明：法一：（1）取AD的中點為F，連結(jié)BF，EF．

∵AD=2，BC=1，
∴BC∥FD，且BC=FD，
∴四邊形BCDE是平行四邊形，
即BF∥CD．  
∵BF?平面PCD，
∴BF∥平面PCD   
∵E，F(xiàn)分別是PA，AD的中點∴EF∥PD
∵EF?平面PCD，
∴EF∥平面PCD．           
∵EF∩BF=F，
∴平面BEF∥平面PCD．      
∵BE?平面BEF，
∴BE∥平面PCD．            
法二：取PD的中點為M，連結(jié)EM，CM． 
∵E為PA的中點，∴EM∥

1

2

AD，BC∥

1

2

AD，∴EM∥

1

2

BC且EM=BC
∴四邊形BCME是平行四邊形
即BE∥CM，
∵BE?平面PCD，
CM?平面PCD
∴BE∥平面PCD．            
（2）由已知得S△BCD=

1

2

×1×1=

1

2

，
所以 VB-PCD=VP-BCD=

1

3

×PA×S△BCD=

1

3

×3×

1

2

=

1

2

．
（3）證明：由已知易得AC=

2

，CD=

2

．           
∵AC²+CD²=AD²
∴∠ACD=90°，即AC⊥CD．
又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
∴PA⊥CD．
∵PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．  
∵PC?平面PAC，
∴CD⊥PC．

點評：本題綜合考查了空間幾何體的性質(zhì)，運(yùn)用證明平行，垂直，求解體積問題，屬于綜合題，難度較大．