Question

1．如圖1，等腰梯形BCDP中，BC∥PD，BA⊥PD于點A，PD=3BC，且AB=BC=1．沿AB把△PAB折起到△P'AB的位置（如圖2），使∠P'AD=90°．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面P'AC；
（Ⅱ）求二面角A-P'D-C的余弦值；
（Ⅲ）線段P'A上是否存在點M，使得BM∥平面P'CD．若存在，指出點M的位置并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出P'A⊥AD，AB⊥AP'，從而P'A⊥面ABCD，進而P'A⊥CD，再推導出AC⊥CD，由此能求出CD⊥平面P'AC．
（Ⅱ）推導出P'A⊥面ABCD，AB⊥AD，從而建立空間直角坐標系，求出平面P'AD的法向量和平面P'CD的一個法向量，利用向量法能求出二面角A-P'D-C的余弦值．
（Ⅲ）設$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AP'}$，利用向量法能求出線段P'A上存在點M，使得BM∥平面P'CD．

解答 （本小題共14分）
證明：（Ⅰ）因為∠P'AD=90°，所以P'A⊥AD．
因為在等腰梯形中，AB⊥AP，所以在四棱錐中，AB⊥AP'．
又AD∩AB=A，所以P'A⊥面ABCD．
因為CD?面ABCD，所以P'A⊥CD．…（3分）
因為等腰梯形BCDE中，AB⊥BC，PD=3BC，
且AB=BC=1．
所以$AC=\sqrt{2}$，$CD=\sqrt{2}$，AD=2．所以AC²+CD²=AD²．
所以AC⊥CD．
因為P'A∩AC=A，所以CD⊥平面P'AC． …（5分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P'A⊥面ABCD，AB⊥AD，
如圖，建立空間直角坐標系，A（0，0，0），B（1，0，0），
C（1，1，0），D（0，2，0），P'（0，0，1）．…（5分）
所以$\overrightarrow{AB}=（1，0，0）$，$\overrightarrow{P'C}=（1，1，-1）$．
由（Ⅰ）知，平面P'AD的法向量為$\overrightarrow{AB}=（1，0，0）$，
設$\overrightarrow n=（x，y，z）$為平面P'CD的一個法向量，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{CD}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{P'C}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-x+y=0\\ x+y-z=0\end{array}\right.$，
再令y=1，得$\overrightarrow n=（1，1，2）$．$cos\left?{\overrightarrow{AB}，\overrightarrow n}\right＞$=$\frac{{|{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow{AB}}|•|{\overrightarrow n}|}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．
所以二面角A-P'D-C的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．  …（9分）
（Ⅲ）線段P'A上存在點M，使得BM∥平面P'CD．
依題意可設$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AP'}$，其中0≤λ≤1．所以M（0，0，λ），$\overrightarrow{BM}=（-1，\;0，\;λ）$．
由（Ⅱ）知，平面P'CD的一個法向量$\overrightarrow n=（1，1，2）$．
因為BM∥平面P'CD，所以$\overrightarrow{BM}⊥\overrightarrow n$，
所以$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow n=-1+2λ=0$，解得$λ=\frac{1}{2}$．
所以，線段P'A上存在點M，使得BM∥平面P'CD…（14分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足線面平行的點的位置的確定與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．