分析 (Ⅰ)由正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得sinB(√3sinC−cosC−1)=0,結(jié)合sinB≠0,可得:sin(C−π6)=12,進(jìn)而可求C的值.
(Ⅱ)由已知利用三角形面積公式可求b,由余弦定理得c,進(jìn)而利用正弦定理可求sinB的值.
解答 (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)由正弦定理,c(\sqrt{3}sinB+cosB)=a+b,
可整理變形為:sinC(\sqrt{3}sinB+cosB)=sinA+sinB,----------------------(2分)
由A=π-(B+C),可得:sinA=sin(B+C)
所以:sinC(\sqrt{3}sinB+cosB)=sin(B+C)+sinB,
整理得:sinB(\sqrt{3}sinC-cosC-1)=0,----------------------(4分)
因?yàn)閟inB≠0,
所以\sqrt{3}sinC-cosC=1,可得:sin(C-\frac{π}{6})=\frac{1}{2},
∴C-\frac{π}{6}=\frac{π}{6},
∴C=\frac{π}{3}.----------------------(6分)
(Ⅱ)由已知a=5,{S_{△ABC}}=5\sqrt{3},得\frac{1}{2}×5b×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=5\sqrt{3}⇒b=4,------(8分)
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=21,故c=\sqrt{21},…(10分)
可得:sinB=\frac{bsinC}{c}=\frac{4}{{\sqrt{21}}}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}.…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,三角形面積公式,余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.
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A. | \frac{4}{3} | B. | \frac{5}{3} | C. | \frac{25}{9} | D. | \frac{16}{9} |
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A. | 1 | B. | -1 | C. | -i | D. | i |
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A. | {0,1,2} | B. | {1,2,3} | C. | {x|x≥1} | D. | {x|x>1} |
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