12.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足$c(\sqrt{3}sinB+cosB)=a+b$.
(Ⅰ)求角C的值;
(Ⅱ)若a=5,△ABC的面積為$5\sqrt{3}$,求sinB的值.

分析 (Ⅰ)由正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得$sinB(\sqrt{3}sinC-cosC-1)=0$,結(jié)合sinB≠0,可得:$sin(C-\frac{π}{6})=\frac{1}{2}$,進而可求C的值.
(Ⅱ)由已知利用三角形面積公式可求b,由余弦定理得c,進而利用正弦定理可求sinB的值.

解答 (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)由正弦定理,$c(\sqrt{3}sinB+cosB)=a+b$,
可整理變形為:$sinC(\sqrt{3}sinB+cosB)=sinA+sinB$,----------------------(2分)
由A=π-(B+C),可得:sinA=sin(B+C)
所以:$sinC(\sqrt{3}sinB+cosB)=sin(B+C)+sinB$,
整理得:$sinB(\sqrt{3}sinC-cosC-1)=0$,----------------------(4分)
因為sinB≠0,
所以$\sqrt{3}sinC-cosC=1$,可得:$sin(C-\frac{π}{6})=\frac{1}{2}$,
∴$C-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$,
∴$C=\frac{π}{3}$.----------------------(6分)
(Ⅱ)由已知a=5,${S_{△ABC}}=5\sqrt{3}$,得$\frac{1}{2}×5b×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=5\sqrt{3}⇒b=4$,------(8分)
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=21,故$c=\sqrt{21}$,…(10分)
可得:$sinB=\frac{bsinC}{c}=\frac{4}{{\sqrt{21}}}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$.…(12分)

點評 本題主要考查了正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,三角形面積公式,余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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