Question

12．已知函數(shù)f（x）=log₂（3+x）+log₂（3-x）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明；
（Ⅲ）若f（x）＜0，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將x=1的值帶入f（x），求出f（1）的值即可；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷即可；
（Ⅲ）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質，問題轉化為0＜9-x²＜1，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f（1）=log₂（3+1）+log₂（3-1）=3；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{3+x＞0}\\{3-x＞0}\end{array}\right.$，解得：-3＜x＜3，
定義域關于原點對稱，
而f（-x）=log₂（3-x）+log₂（3+x）=f（x），
故函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（Ⅲ）若f（x）＜0，
則log₂（3+x）+log₂（3-x）=log₂（3+x）（3-x）＜0，
即0＜9-x²＜1，解得：-3＜x＜-2$\sqrt{2}$或2$\sqrt{2}$＜x＜3．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質，考查函數(shù)的奇偶性和單調性問題，是一道基礎題．