Question

3．一個三角形三邊是連續(xù)的三個自然數(shù)，且最大角是最小角的2倍，則這個三角形的周長等于15．

Answer 1

分析 設(shè)三角形三邊是連續(xù)的三個自然n-1，n，n+1，三個角分別為α，π-3α，2α，由正弦定理求得cosα=$\frac{n+1}{2（n-1）}$，再由余弦定理可得 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•$\frac{n+1}{2（n-1）}$，求得n=5，從而得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)三邊長分別為n-1，n，n+1，對應(yīng)的角為A，B，C，
 由題意知C=2A，
由正弦定理得$\frac{n-1}{sinA}=\frac{n+1}{sinC}$=$\frac{n+1}{2sinAcosA}$
即有cosA=$\frac{n+1}{2（n-1）}$，
又cosA=$\frac{{n}^{2}+（n+1）^{2}-（n-1）^{2}}{2n（n+1）}$=$\frac{n+4}{2（n+1）}$
所以$\frac{n+1}{2（n-1）}$=$\frac{n+4}{2（n+1）}$，
化簡為n²-5n=0，解得n=5，
所以三邊分別為4，5，6，其周長=4+5+6=15．
故答案為：15．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，求得n²-5n=0，是解題的難點，屬于中檔題．