Question

如圖，在△ABC中，∠C=45°，D為BC中點(diǎn)，BC=2．記銳角∠ADB=α．且滿足cos2α=-．
（1）求cosα；
（2）求BC邊上高的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由二倍角公式cos2α=2cos²α-1，可求cosα
（2）方法一、由可求sinα，而∠CAD=∠ADB-∠C=α-45°，利用sin∠CAD=sin（）=sin，代入可求sin∠CAD，最后再
由正弦定理，可求AD，從而可由h=ADsin∠ADB求解
方法二、作BC 邊上的高為AH，在直角△ADH中，由（1）可得，設(shè)出AD，則可表示DH，AH，結(jié)合△AHC為等腰直角三角形，可得CD+DH=AH，代入可求
解答：解：（1）∵cos2α=2cos²α-1=，
∴，
∵，
∴cosα=．-----------（5分）
（2）方法一、由（1）得=，
∵∠CAD=∠ADB-∠C=α-45°，
∴sin∠CAD=sin（）=sin
==，-----------------（9分）
在△ACD中，由正弦定理得：，
∴AD==，-----------------（11分）
則高h(yuǎn)=ADsin∠ADB==4．-----------------（12分）
方法二、如圖，作BC 邊上的高為AH 
在直角△△ADH中，由（1）可得=，
則不妨設(shè)AD=5m則DH=3m，AH=4m-----------------（8分）
注意到C=45°，則△AHC為等腰直角三角形，所以CD+DH=AH，
則1+3m=4m-----------------（10分）
所以m=1，即AH=4-----------------（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了同角平方關(guān)系、和差角公式及正弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用基本公式